當AI能做數學，數學家的意義何在？

當AI能做數學，數學家的意義何在？

2000年代中期，當殺手樂團（The Killers）和Franz Ferdinand的音樂從每間酒吧夜店震天價響地傳出時，我正日以繼夜地埋首於應用數學博士論文的苦海中。我的研究聚焦在模擬特殊光波如何在液晶中互動，並用簡化方程式來近似和理解這些交互作用。如今回顧當年的論文，液晶技術早已不是新鮮事，我想像自己的研究在AI輔助下，幾天——甚至幾小時——就能完成。

但同樣的話，卻不適用於當年與我共用愛丁堡大學狹小辦公室的純數學博士生們。那時我還挺同情這些同僚的，他們日復一日坐在桌前，彷彿愁眉深鎖、毫無進展。（雖然我自己也在掙扎，但至少還能感覺到些微進展。）畢業後各奔東西，有些人甚至連一篇論文都還沒發表。

如今，我終於在事後理解了，為什麼他們願意在那些全世界只有少數人關心的抽象數學問題上耗費多年心血。那不是我當初以為的傲慢——不是為了率先解開看似無解的難題來彰顯優越感；也不是我的第二個猜測：某種自我懲罰式的苦行。我終於明白，他們從那條漫長的理解之旅中，汲取到的是喜悅、成就感，以及生命的意義。

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「有時，理解本身就讓你覺得非常美麗。」——卡內基美隆大學 Jeremy Avigad

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「有時，理解本身就讓你覺得非常美麗；有時，它像是完成馬拉松般的成就感，」卡內基美隆大學數學家 Jeremy Avigad 若有所思地說，「但又不完全是這兩者：當你長時間深思一個複雜而困難的問題，突然之間——一切豁然貫通——那種感覺真的很美妙。」

這種感覺驅動著歷代數學家。同樣地，數學家追求這種感覺的方式，幾個世紀以來幾乎沒有改變：他們在數字、形狀或邏輯結構中察覺或想像出關聯、模式或性質，進而提出猜想——也就是尚未被證明的推測陳述。接著，他們自己或其他數學家以往往充滿創意的方式，運用邏輯推理和數學工具來證明或否定這些猜想；最後，又有其他數學家來驗證（或挑戰）這些證明。

這個過程往往需要大量的思考時間。「我參加過一個純數學營，課堂上我們會花半小時面對一道難題，沒有人開口——大家只是在思考，」即將在佛蒙特大學完成數學與電腦科學博士學位的 Krystal Maughan 說，「但之後我們會一起合作，慢慢把問題抽絲剝繭。」

這正是數學古老樂趣的真實寫照。然而，今日的AI系統正開始侵入這個緩慢而深思熟慮的過程。若將這一趨勢推演至極致——如果AI讓數學家的掙扎變得完全多餘，人類是否會被徹底邊緣化？

AI在數學領域的角色日益吃重

數十年來，計算工具一直在加速數學進展。這一切始於50年前，當時數學家借助電腦證明了「四色定理」——即任何地圖都能用不超過四種顏色著色，且相鄰區域不共用同色。答案是肯定的，但電腦透過驗證1,936個案例來證明這一點，爭議在於沒有任何人類能切實驗證這個過程。

然而在整個計算時代，即便是仰賴龐大計算資源的證明，人類數學家仍始終居於核心地位：人類提出猜想、設計策略、驗證結果。

如今，AI正在挑戰這個既有格局。短短幾年內，大型語言模型（LLMs）已從只能複述網路上基礎數學的「隨機鸚鵡」，演進為先進的數學推理機器。

去年夏天，Google DeepMind 和 OpenAI 的系統在國際數學奧林匹亞（International Mathematical Olympiad）競賽中達到相當於全球最頂尖數學資優高中生的水準，斬獲金牌。今年稍早，Google DeepMind 的實驗性AI系統 Aletheia 達成了更重要的里程碑——自主產出可發表的博士級研究成果，計算算術幾何中的結構常數，展現出在處理未解數學問題時的複雜推理能力。更近期，OpenAI 的新型通用AI系統則否定了組合幾何學中一個重要猜想，頂尖數學家們盛讚這是AI在數學領域展現獨立、原創且深度思考的重要里程碑。

另一項重大轉變，來自將大型語言模型與「證明助手」（proof assistants）結合——這類工具已存在超過十年，包括 Isabelle、Lean 和 Rocq 等專門的程式語言，能夠逐步驗證數學證明的邏輯正確性。過去，數學家必須人工將定理和證明翻譯成機器可讀格式，此一費時費力的過程稱為「形式化」。現在，大型語言模型開始移除這個瓶頸，自動將非正式證明轉換成證明助手可驗證的正式程式碼。

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從人類證明到形式化證明

歐幾里得著名的「質數無限多」證明，經 Lean 形式化後面貌大不相同。人類數學家習慣跳過步驟並依賴共同理解；形式化則使每一個假設和推論都明確呈現，以便電腦驗證。

人類寫法： 我們想證明對所有自然數 n，存在質數 p 使得 p ≥ n。 考慮 n! + 1 的最小質因數，稱之為 p，顯然它是質數。 要證明 p ≥ n，假設反之，則 p 整除 n!，因此也整除 (n! + 1) - n! = 1。 但這不可能：p 是質數，而 1 沒有質因數。 故 p ≥ n。

Lean 形式化寫法： 每個定義必須明確；形式化證明建立在先前已驗證的定理之上；隱含的邏輯步驟必須全部顯式呈現，不能只說「顯然」整除。

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此類系統（有時稱為推理代理）正日趨複雜。今年2月，AI公司 Math, Inc. 使用其名為 Gauss 的推理代理，將數學家 Maryna Viazovska（瑞士 EPFL）在2022年榮獲菲爾茲獎的成果加以形式化。Gauss 先在數天內協助人類數學家完成8維球體填充問題的形式化，隨後又在兩週內自主完成了更為複雜的24維情形的形式化。

這些成就表明，AI已能處理某些長久以來被認為是人類專屬的數學任務。隨著技術持續進展，人類數學家日常工作中愈來愈多的部分，恐怕都將成為AI的囊中之物。

數學家對AI角色的辯論

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人類數學家可能淪為「神諭的祭司」。——倫敦數學科學研究所 Yang-Hui He

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2025年9月，我出席了第12屆海德堡桂冠論壇（Heidelberg Laureate Forum）——這是一年一度匯聚數百位年輕數學家、電腦科學家與其學術偶像的盛會。AI主導了所有討論，從一開始，空氣中便瀰漫著緊張氣氛。

講者描述了一個超人類AI數學家的未來：提出猜想、搜索解空間、證明猜想、驗證證明並推廣結果，全程無需人類介入。倫敦數學科學研究所的 Yang-Hui He 令人印象深刻地宣稱，若此未來成真，人類數學家可能淪為「神諭的祭司」。

當台上發出這些驚人預言時，我的目光被台下的聽眾所吸引。皺眉、坐立難安、彼此交換著不安的眼神——那種騷動顯而易見。澳洲迪肯大學（Deakin University）學生 Trill White 事後回憶，當時坐在場內心想：「『這太令人沮喪了。人們還能為數學貢獻什麼？數學會不會變成沒有人理解的東西？』我確實感覺到，這將改變一切。」

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「我們確實開始意識到，AI有潛力取代我們。」——Google Developer Groups Jessica Randall

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Google Developer Groups 的南非數學家 Jessica Randall 說，她感受到年輕數學家們集體湧現的存在性恐懼。「我能感覺到每個人都很擔憂，因為他們之前從未想得那麼遠，」她說，「就像一顆大炸彈突然引爆，我們確實開始意識到，AI有潛力取代我們。」

部分資深數學家，包括 He，似乎對AI承接目前由人類主導的任務感到坦然。他們只想知道數學中最大問題的答案——例如仍懸而未決的六個千禧年大獎難題（Millennium Prize Problems）——無論是不是AI解出來的。「很多數學家很務實，只想搞懂。他們會為解題方案出賣靈魂，」Avigad 開玩笑說，「不管用什麼方式，對吧？」

但「只想知道答案」的陣營絕非唯一派別。大多數數學家並不希望也不預期AI完全取代他們。兩種廣泛的替代方案正在浮現：一是以人類為中心的理想，將AI視為工具（如同計算機），優先重視人類對數學的理解；二是協作式的「團隊合作」願景——人類與AI攜手解決彼此單獨都無法攻克的問題。

數學中的人類角色

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數字是「一種讓我們達成共識的方式」。——普林斯頓大學 Akshay Venkatesh

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菲爾茲獎得主、普林斯頓大學數學家 Akshay Venkatesh 多年來一直從以人類為中心的角度思考這個議題。2022年，他在菲爾茲獎研討會上懇切呼籲數學界深思AI對數學實踐的意涵。當時，AI取代數學家的想法還顯得遙不可及；如今，他說：「我們正逐漸達到一個節點——至少在部分涉及抽象數學推理的任務上，電腦正開始與人類一較高下。」

對 Venkatesh 而言，問題不僅在於電腦能做什麼，更在於數學究竟為何而存在。「有時我覺得，當我們使用數字時，與其說是在描述本質上數值化的現象，不如說是我們能對數字的意義達成精確共識，」他說，「這是一種讓我們取得共識的方式。」

渥太華大學數學家暨機器學習專家 Maia Fraser 也有同感。她說，她從數學中獲得的喜悅，是一種融合潛意識與意識的、獨特屬於人類的體驗——從直覺上感覺某件事應該成立，到逐漸將其提煉為嚴謹的證明。溝通和分享這些源自內心深處的思想，「是一種集體智慧，是人類精神中美麗的一部分，」她說。

依此論點，若AI對一個長期抵禦人類努力的猜想提出了證明，其用處仍取決於人類能否理解。「AI能證明這個命題，本身已是有用的資訊，」Fraser 承認，「但之後，找出一個優雅而美麗的人類證明仍是一個開放問題。」即便這樣的證明並不存在，她說，尋找它「仍是一項有價值的努力」。

AI與數學協作的未來

對AI在數學中更具協作性的願景，來自陶哲軒（Terence Tao）——他10歲時首次參加數學奧林匹亞競賽，並在1986、1987、1988年分別獲得銅牌、銀牌和金牌，是奧林匹亞史上最年輕的三牌得主。現為菲爾茲獎得主、加州大學洛杉磯分校教授的他，已建立起當代最傑出數學家之一的聲譽……

（原文因篇幅過長已截斷，以上為完整可翻譯部分之內容。）

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